进制与位运算详解
进制
计数进位的方法称为进制（Numeration System）。常见的进制有以下几种。
十进制（Decimal System）
我们日常使用的计数系统，基数为 10，数位可以是 0 到 9。
二进制（Binary System）
计算机内部使用的计数系统，基数为 2，数位只能是 0 或 1。
八进制（Octal System）
基数为 8，数位为 0 到 7。
十六进制（Hexadecimal System）
基数为 16，数位为 0 到 9 以及字母 A 到 F，常用于表示内存地址、颜色值等。
进制的基数与位权
在进制系统中，有两个重要的概念：基数和位权。
基数
基数是进制的基本数。例如：
- 二进制的基数是 2。
- 八进制的基数是 8。
- 十进制的基数是 10。
- 十六进制的基数是 16。
位权
位权是指数位在数值中的权重，决定了该位对整个数值的影响。位权通常是基数的幂次方。
例如，在十进制数 123 中，各位的位权为：
- 最右边的 3，位权为 100。
- 中间的 2，位权为 101。
- 最左边的 1，位权为 102。
在二进制中，同样适用，位权为 2 的幂。
原码、反码与补码
计算机的运算器通常只执行加法，没有直接的减法运算。因此，减法通过加上一个数的相反数来实现。
乘法和除法也可以通过位移操作来优化：
- 乘法：左移操作，数值每左移一位，相当于乘以 2。
- 除法：右移操作，数值每右移一位，相当于除以 2。
符号位
在二进制表示有符号数时，最高位通常作为符号位：
- 符号位为 0，表示正数。
- 符号位为 1，表示负数。
原码、反码和补码的表示
原码
原码是数字的二进制表示形式，直接用最高位表示符号位，其余位表示数值的绝对值。
反码
正数的反码与原码相同。负数的反码是对其原码除符号位外的各个位取反。
补码
正数的补码与原码相同。负数的补码是在其反码的基础上加 1。
示例
以 8 位二进制数表示+6 和-6：
-
+6 的原码：
0000 0110 -
+6 的反码：
0000 0110 -
+6 的补码：
0000 0110 -
-6 的原码：
1000 0110 -
-6 的反码：
1111 1001（符号位不变，其他位取反） -
-6 的补码：
1111 1010（反码加 1）
为什么要有反码和补码
使用补码有以下原因：
- 统一运算：补码可以将减法运算转换为加法运算，简化了计算机的电路设计。
- 唯一的零表示：补码表示中，零只有一种形式，避免了正零和负零的区别。
- 便于溢出检测：补码运算有助于检测溢出错误。
计算机的内存中，整数通常以补码的形式存储。
位运算
位运算是直接对整数的二进制位进行操作。由于直接操作二进制位，位运算的性能非常高。
按位与 & 和按位或 |
- 按位与
&：两个二进制数对应位都为 1，结果才为 1，否则为 0。 - 按位或
|：两个二进制数对应位只要有一个为 1，结果为 1，只有当对应位都为 0 时，结果才为 0。
按位取反 ~ 和异或 ^
- 按位取反
~：对二进制数的每一位取反，0 变 1，1 变 0。 - 异或
^：两个二进制数对应位相同为 0，不同为 1。
位移运算符
-
左移运算符
<<将二进制数的所有位向左移动指定的位数，右边补 0。每左移一位，相当于乘以 2。
-
右移运算符
>>将二进制数的所有位向右移动指定的位数，左边补符号位。每右移一位，相当于除以 2。
-
无符号右移运算符
>>>将二进制数的所有位向右移动指定的位数，左边补 0，不论符号位。
示例
假设有整数 8，其二进制表示为 00001000：
8 << 1结果为16，二进制为00010000。8 >> 1结果为4，二进制为00000100。-8 >> 1结果为-4，符号位保持不变，左边补 1。-8 >>> 1结果为一个较大的正整数，因为左边补 0，符号位被当作数值位。
注意事项
- 位运算只能用于整数类型，如
byte、short、int、long和char。 - 在处理有符号数的位移时，需要注意符号位的影响。